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Soit $f$ une fonction de $\lbrack a,b \rbrack$ dans $\lbrack a,b\rbrack$ telle que pour tout $x$ et $x'$ ( $x\neq x'$ ) de $\lbrack a,b \rbrack$ on ait : $\ \ \vert f(x)-f(x')\vert<\vert x-x'\vert.$

Montrer que $f$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$ .

Montrer que l’équation $f(x)=x$ admet une et une seule solution dans $\lbrack a,b\rbrack$ . (On pourra introduire la fonction: $x\mapsto g(x)=f(x)-x$ ).