Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls tels que \(a<b\). On a alors

\[a^b=b^a\Leftrightarrow\ln(a^b)=\ln(b^a)\Leftrightarrow b\ln a=a\ln b\Leftrightarrow\frac{\ln a}{a}=\frac{\ln b}{b}\Leftrightarrow f(a)=f(b).\] Si \(a\geq3\), puisque \(f\) est strictement décroissante sur \([e,+\infty[\), on a alors \(f(a)>f(b)\) et en particulier, \(f(a)\neq f(b)\). \(a\) n’est donc pas solution. \(a=1\) n’est évidemment pas solution. Par exemple, \(a^b=b^a\Rightarrow1^b=b^1\Rightarrow b=1=a\) ce qui est exclu. Donc, nécessairement \(a=2\) et \(b\) est un entier supérieur ou égal à \(3\), et donc à \(e\), vérifiant \(f(b)=f(2)\). Comme \(f\) est strictement décroissante sur \([e,+\infty[\), l’équation \(f(b)=f(2)\) a au plus une solution dans \([e,+\infty[\). Enfin, comme \(2^4=16=4^2\), on a montré que : il existe un et un seul couple \((a,b)\) d’entiers naturels non nuls tel que \(a<b\) et \(a^b=b^a\), à savoir \((2,4)\).

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