Trouver un équivalent simple quand
n → + ∞ n \to +\infty n → + ∞ pour chaque suite définie par son terme général ci-dessous :
\colonnes{\solution}{3}{1}
\question{u n = 1 n − 1 − 1 n + 1 u_n=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1} u n = n − 1 1 − n + 1 1 1 n − 1 − 1 n + 1 = 2 n 2 − 1 ∼ n → + ∞ 2 n 2 \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^{2}-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{2}{n^{2}} n − 1 1 − n + 1 1 = n 2 − 1 2 n → + ∞ ∼ n 2 2 n 2 − 1 ∼ n → + ∞ n 2 . n^{2}-1 \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n^{2} . n 2 − 1 n → + ∞ ∼ n 2 . \question{u n = n + 1 + ln ( n ) u_n=n+1+\ln(n) u n = n + 1 + ln ( n ) n + 1 + ln ( n ) ∼ n → + ∞ n n+1+\ln (n) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n n + 1 + ln ( n ) n → + ∞ ∼ n lim n → + ∞ n + 1 + ln ( n ) n = lim n → + ∞ n × ( 1 + 1 n + ln ( n ) n ) n = lim n → + ∞ 1 + 1 n + ln ( n ) n = 1. \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n+1+\ln (n)}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n \times\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\ln (n)}{n}\right)}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 1+\frac{1}{n}+\frac{\ln (n)}{n}=1 . n → + ∞ lim n n + 1 + l n ( n ) = n → + ∞ lim n n × ( 1 + n 1 + n l n ( n ) ) = n → + ∞ lim 1 + n 1 + n l n ( n ) = 1. \question{u n = sin ( 1 n + 1 ) u_n=\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) u n = sin ( n + 1 1 ) sin ( u ) ∼ u → 0 u ⇒ sin ( 1 n + 1 ) ∼ n → + ∞ 1 n + 1 ∼ n → + ∞ 1 n \sin (u) \underset{u \rightarrow 0}{\sim} u \Rightarrow \sin \left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n}} sin ( u ) u → 0 ∼ u ⇒ sin ( n + 1 1 ) n → + ∞ ∼ n + 1 1 n → + ∞ ∼ n 1 \question{u n = n + 1 − n − 1 u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} u n = n + 1 − n − 1 n + 1 − n − 1 = ( n + 1 − n − 1 ) ( n + 1 + n − 1 ) n + 1 + n − 1 = ( n + 1 ) − ( n − 1 ) n + 1 + n − 1 = 2 n + 1 + n − 1 \sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} n + 1 − n − 1 = n + 1 + n − 1 ( n + 1 − n − 1 ) ( n + 1 + n − 1 ) = n + 1 + n − 1 ( n + 1 ) − ( n − 1 ) = n + 1 + n − 1 2 n + 1 + n − 1 ∼ n → + ∞ 2 n \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} 2 \sqrt{n} n + 1 + n − 1 n → + ∞ ∼ 2 n lim n → + ∞ n + 1 + n − 1 2 n = lim n → + ∞ 1 2 n + 1 n + 1 2 n − 1 n = lim n → + ∞ 1 2 + 1 2 = 1 \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}{2 \sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{n+1}{n}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{n-1}{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 n → + ∞ lim 2 n n + 1 + n − 1 = n → + ∞ lim 2 1 n n + 1 + 2 1 n n − 1 = n → + ∞ lim 2 1 + 2 1 = 1 n + 1 − n − 1 ∼ n → + ∞ 2 2 n = 1 n
\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{2}{2 \sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}
n + 1 − n − 1 n → + ∞ ∼ 2 n 2 = n 1 \question{u n = ln ( n 2 + n + 2 n 2 + n − 1 ) u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+2}{n^2+n-1}\right) u n = ln ( n 2 + n − 1 n 2 + n + 2 ) n 2 + n + 2 n 2 + n − 1 = n 2 × ( 1 + 1 n + 2 n 2 ) n 2 × ( 1 + 1 n − 1 n 2 ) = 1 + 1 n + 2 n 2 1 + 1 n − 1 n 2 \frac{n^{2}+n+2}{n^{2}+n-1}=\frac{n^{2} \times\left(1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2} \times\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}} n 2 + n − 1 n 2 + n + 2 = n 2 × ( 1 + n 1 − n 2 1 ) n 2 × ( 1 + n 1 + n 2 2 ) = 1 + n 1 − n 2 1 1 + n 1 + n 2 2 1 + u + 2 u 2 1 + u − u 2 = 1 + 3 u 2 + u 2 . ε ( u )
\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}=1+3 u^{2}+u^{2} . \varepsilon(u)
1 + u − u 2 1 + u + 2 u 2 = 1 + 3 u 2 + u 2 . ε ( u ) ln ( 1 + v ) = v − v 2 2 + v 2 . ε ( v ) v ≠ 0 ⇒ ln ( 1 + u + 2 u 2 1 + u − u 2 ) = 3 u 2 + u 2 . ε ( u ) \ln (1+v)=v-\frac{v^{2}}{2}+v^{2} . \underset{v \neq 0}{\varepsilon(v)} \Rightarrow \ln \left(\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}\right)=3 u^{2}+u^{2} . \varepsilon(u) ln ( 1 + v ) = v − 2 v 2 + v 2 . v = 0 ε ( v ) ⇒ ln ( 1 + u − u 2 1 + u + 2 u 2 ) = 3 u 2 + u 2 . ε ( u ) ln ( n 2 + n + 2 n 2 + n − 1 ) = 3 n 2 + 1 n 2 ⋅ ε ( 1 n ) \ln \left(\frac{n^{2}+n+2}{n^{2}+n-1}\right)=\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}} \cdot \varepsilon\left(\frac{1}{n}\right) ln ( n 2 + n − 1 n 2 + n + 2 ) = n 2 3 + n 2 1 ⋅ ε ( n 1 ) ln ( n 2 + n + 2 n 2 + n − 1 ) ∼ n → + ∞ 3 n 2 \ln \left(\frac{n^{2}+n+2}{n^{2}+n-1}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{3}{n^{2}} ln ( n 2 + n − 1 n 2 + n + 2 ) n → + ∞ ∼ n 2 3