Trouver un équivalent simple quand $n \to +\infty$ pour chaque suite définie par son terme général ci-dessous :
\colonnes{\solution}{3}{1}
- \question{$u_n=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$} \reponse{$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^{2}-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{2}{n^{2}}$, car $n^{2}-1 \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n^{2} .$}
- \question{$u_n=n+1+\ln(n)$} \reponse{$n+1+\ln (n) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n$, car $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n+1+\ln (n)}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n \times\left(1+\frac{1}{n}+\frac{\ln (n)}{n}\right)}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 1+\frac{1}{n}+\frac{\ln (n)}{n}=1 .$}
- \question{$u_n=\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$} \reponse{ $\sin (u) \underset{u \rightarrow 0}{\sim} u \Rightarrow \sin \left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n}}$}
- \question{$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$}
\reponse{ On a :
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$
et $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} 2 \sqrt{n}$ car :
$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}{2 \sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{n+1}{n}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{n-1}{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ Aussi : $$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{2}{2 \sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}} $$} - \question{$u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+2}{n^2+n-1}\right)$ }
\reponse{$\frac{n^{2}+n+2}{n^{2}+n-1}=\frac{n^{2} \times\left(1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2} \times\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}$}
$$
\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}=1+3 u^{2}+u^{2} . \varepsilon(u)
$$
$\ln (1+v)=v-\frac{v^{2}}{2}+v^{2} . \underset{v \neq 0}{\varepsilon(v)} \Rightarrow \ln \left(\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}\right)=3 u^{2}+u^{2} . \varepsilon(u)$
Ainsi : $\ln \left(\frac{n^{2}+n+2}{n^{2}+n-1}\right)=\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}} \cdot \varepsilon\left(\frac{1}{n}\right)$ ou encore $\ln \left(\frac{n^{2}+n+2}{n^{2}+n-1}\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{3}{n^{2}}$
1
\(u_n=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\)
2
\(u_n=n+1+\ln(n)\)
3
\(u_n=\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
4
\(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\)
5
\(u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+2}{n^2+n-1}\right)\)