Le graphe devrait vous aider : tout d’abord il vous aide à se convaincre que $f$ est bien bijective et que la formule pour la bijection réciproque dépend d’intervalles. Petit rappel : le graphe de la bijection réciproque $f^{-1}$ s’obtient comme symétrique du graphe de $f$ par rapport à la bissectrice d’équation $(y=x)$ (dans un repère orthonormal).

Ici on se contente de donner directement la formule de $f^{-1}$ . Pour $x \in ]-\infty,1[$ , $f(x)=x$ . Donc la bijection réciproque est définie par $f^{-1}(y)=y$ pour tout $y \in ]-\infty,1[$ . Pour $x \in [1,4]$ , $f(x)=x^2$ . L’image de l’intervalle $[1,4]$ est l’intervalle $[1,16]$ . Donc pour chaque $y \in [1,16]$ , la bijection réciproque est définie par $f^{-1}(y) = \sqrt y$ . Enfin pour $x\in]4,+\infty[$ , $f(x) = 8\sqrt x$ . L’image de l’intervalle $]4,+\infty[$ est donc $]16,+\infty[$ et $f^{-1}$ est définie par $f^{-1}(y) = \frac{1}{64} y^2$ pour chaque $y \in ]16,+\infty[$ .

Nous avons définie $f^{-1} : \Rr \to \Rr$ de telle sorte que $f^{-1}$ soit la bijection réciproque de $f$ .

C’est un bon exercice de montrer que $f$ est bijective sans calculer $f^{-1}$ : vous pouvez par exemple montrer que $f$ est injective et surjective. Un autre argument est d’utiliser un résultat du cours : $f$ est continue, strictement croissante avec une limite $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ donc elle est bijective de $\Rr$ dans $\Rr$ (et on sait même que la bijection réciproque est continue).

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