Le graphe devrait vous aider : tout d’abord il vous aide à se convaincre que \(f\) est bien bijective et que la formule pour la bijection réciproque dépend d’intervalles. Petit rappel : le graphe de la bijection réciproque \(f^{-1}\) s’obtient comme symétrique du graphe de \(f\) par rapport à la bissectrice d’équation \((y=x)\) (dans un repère orthonormal).

Ici on se contente de donner directement la formule de \(f^{-1}\). Pour \(x \in ]-\infty,1[\), \(f(x)=x\). Donc la bijection réciproque est définie par \(f^{-1}(y)=y\) pour tout \(y \in ]-\infty,1[\). Pour \(x \in [1,4]\), \(f(x)=x^2\). L’image de l’intervalle \([1,4]\) est l’intervalle \([1,16]\). Donc pour chaque \(y \in [1,16]\), la bijection réciproque est définie par \(f^{-1}(y) = \sqrt y\). Enfin pour \(x\in]4,+\infty[\), \(f(x) = 8\sqrt x\). L’image de l’intervalle \(]4,+\infty[\) est donc \(]16,+\infty[\) et \(f^{-1}\) est définie par \(f^{-1}(y) = \frac{1}{64} y^2\) pour chaque \(y \in ]16,+\infty[\).

Nous avons définie \(f^{-1} : \Rr \to \Rr\) de telle sorte que \(f^{-1}\) soit la bijection réciproque de \(f\).

C’est un bon exercice de montrer que \(f\) est bijective sans calculer \(f^{-1}\) : vous pouvez par exemple montrer que \(f\) est injective et surjective. Un autre argument est d’utiliser un résultat du cours : \(f\) est continue, strictement croissante avec une limite \(-\infty\) en\(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\) donc elle est bijective de \(\Rr\) dans \(\Rr\) (et on sait même que la bijection réciproque est continue).

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