Soit \[f(x) = \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \exp\left( \frac 1x \ln \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right) \right)\]

\(a^x \to 1\), \(b^x \to 1\) donc \(\frac{a^{x}+b^{x}}{2} \to 1\) lorsque \(x \to 0\) et nous sommes face à une forme indéterminée. Nous savons que \(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1\). Autrement dit il existe un fonction \(\mu\) telle que \(\ln(1+t) = t \cdot \mu(t)\) avec \(\mu(t) \to 1\) lorsque \(t\to 0\).

Appliquons cela à \(g(x) = \ln \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)\). Alors \[g(x) = \ln \left(1+ \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1\right)\right) = \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1\right) \cdot \mu(x)\] où \(\mu(x) \to 1\) lorsque \(x\to 0\). (Nous écrivons pour simplifier \(\mu(x)\) au lieu de \(\mu(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1)\).)

Nous savons aussi que \(\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1\). Autrement dit il existe un fonction \(\nu\) telle que \(e^t - 1 = t \cdot \nu(t)\) avec \(\nu(t) \to 1\) lorsque \(t\to 0\).

Appliquons ceci :

\[\begin{align*} \frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1 &= \frac 12 (e^{x \ln a} + e^{x\ln b})-1 \\ &= \frac12 (e^{x \ln a}-1 + e^{x\ln b}-1) \\ &= \frac12( x \ln a \cdot \nu(x \ln a) + x \ln b \cdot \nu(x \ln b)) \\ &= \frac12 x\left(\ln a \cdot \nu(x \ln a) + \ln b \cdot \nu(x \ln b) \right) \\ \end{align*}\]

Reste à rassembler tous les éléments du puzzle : \[\begin{align*} f(x) &= \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \\ &= \exp\left( \frac 1x \ln \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right) \right) \\ &= \exp\left( \frac 1x g(x) \right) \\ &= \exp\left( \frac 1x \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1\right) \cdot \mu(x) \right) \\ &= \exp\left( \frac 1x \cdot \frac12 \cdot x\left(\ln a \cdot \nu(x \ln a) + \ln b \cdot \nu(x \ln b) \right) \cdot \mu(x) \right) \\ &= \exp\left( \frac12 \left(\ln a \cdot \nu(x \ln a) + \ln b \cdot \nu(x \ln b) \right) \cdot \mu(x) \right) \\ \end{align*}\]

Or \(\mu(x) \to 1\), \(\nu(x \ln a) \to 1\), \(\nu(x \ln b) \to 1\) lorsque \(x \to 0\). Donc \[\lim_{x\to 0} f(x) = \exp\left( \frac12 \left(\ln a + \ln b \right) \right) = \exp\left( \frac12 \ln (ab) \right) = \sqrt{ab}.\]

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