Soit $f(x) = \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \exp\left( \frac 1x \ln \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right) \right)$

$a^x \to 1$ , $b^x \to 1$ donc $\frac{a^{x}+b^{x}}{2} \to 1$ lorsque $x \to 0$ et nous sommes face à une forme indéterminée. Nous savons que $\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$ . Autrement dit il existe un fonction $\mu$ telle que $\ln(1+t) = t \cdot \mu(t)$ avec $\mu(t) \to 1$ lorsque $t\to 0$ .

Appliquons cela à $g(x) = \ln \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)$ . Alors $g(x) = \ln \left(1+ \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1\right)\right) = \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1\right) \cdot \mu(x)$ où $\mu(x) \to 1$ lorsque $x\to 0$ . (Nous écrivons pour simplifier $\mu(x)$ au lieu de $\mu(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1)$ .)

Nous savons aussi que $\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$ . Autrement dit il existe un fonction $\nu$ telle que $e^t - 1 = t \cdot \nu(t)$ avec $\nu(t) \to 1$ lorsque $t\to 0$ .

Appliquons ceci :

$\begin{align*} \frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1 &= \frac 12 (e^{x \ln a} + e^{x\ln b})-1 \\ &= \frac12 (e^{x \ln a}-1 + e^{x\ln b}-1) \\ &= \frac12( x \ln a \cdot \nu(x \ln a) + x \ln b \cdot \nu(x \ln b)) \\ &= \frac12 x\left(\ln a \cdot \nu(x \ln a) + \ln b \cdot \nu(x \ln b) \right) \\ \end{align*}$

Reste à rassembler tous les éléments du puzzle : $\begin{align*} f(x) &= \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \\ &= \exp\left( \frac 1x \ln \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right) \right) \\ &= \exp\left( \frac 1x g(x) \right) \\ &= \exp\left( \frac 1x \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}-1\right) \cdot \mu(x) \right) \\ &= \exp\left( \frac 1x \cdot \frac12 \cdot x\left(\ln a \cdot \nu(x \ln a) + \ln b \cdot \nu(x \ln b) \right) \cdot \mu(x) \right) \\ &= \exp\left( \frac12 \left(\ln a \cdot \nu(x \ln a) + \ln b \cdot \nu(x \ln b) \right) \cdot \mu(x) \right) \\ \end{align*}$

Or $\mu(x) \to 1$ , $\nu(x \ln a) \to 1$ , $\nu(x \ln b) \to 1$ lorsque $x \to 0$ . Donc $\lim_{x\to 0} f(x) = \exp\left( \frac12 \left(\ln a + \ln b \right) \right) = \exp\left( \frac12 \ln (ab) \right) = \sqrt{ab}.$

exo7 638