Soit $E=\{x\in[a,b]/\;f(x)\geq x\}$ . $E$ est une partie non vide de $\Rr$ (car $a$ est dans $E$ ) et majorée (par $b$ ). Donc, $E$ admet une borne supèrieure $c$ vérifiant $a\leq c\leq b$ .

Montrons que $f(c)=c$ .

Si $c=b$ , alors $\forall n\in\Nn^*,\;\exists x_n\in E/\;b-\frac{1}{n}<x_n\leq b$ . Puisque $f$ est à valeurs dans $[a,b]$ et que les $x_n$ sont dans $E$ , pour tout entier naturel non nul $n$ , on a

$x_n\leq f(x_n)\leq b\;(*).$

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , la suite $(x_n)$ tend vers $b$ (théorème des gendarmes) et donc, $f$ étant croissante sur $[a,b]$ , la suite $(f(x_n))$ tend vers $f(b^-)\leq f(b)$ . Par passage à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ dans $(*)$ , on obtient alors $b\leq f(b^-)\leq f(b)\leq b$ et donc $f(b)=b$ . Finalement, dans ce cas, $b$ est un point fixe de $f$ .

Si $c\in[a,b[$ , par définition de $c$ , pour $x$ dans $]c,b]$ , $f(x)<x$ (car $x$ n’est pas dans $E$ ) et par passage à la limite quand $x$ tend vers $c$ par valeurs supérieures et d’après les propriétés usuelles des fonctions croissantes, on obtient : $f(c)(\leq f(c+))\leq c$ .

D’autre part, $\forall n\in\Nn^*,\;\exists x_n\in E/\;c-\frac{1}{n}<x_n\leq c$ . $x_n$ étant dans $E$ , on a $f(x_n)\geq x_n$ . Quand $n$ tend vers $+\infty$ , on obtient : $f(c)\geq f(c^-)\geq c$ . Finalement, $f(c)=c$ et dans tous les cas, $f$ admet au moins un point fixe.

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