Soit \(E=\{x\in[a,b]/\;f(x)\geq x\}\). \(E\) est une partie non vide de \(\Rr\) (car \(a\) est dans \(E\)) et majorée (par \(b\)). Donc, \(E\) admet une borne supèrieure \(c\) vérifiant \(a\leq c\leq b\).

Montrons que \(f(c)=c\).

Si \(c=b\), alors \(\forall n\in\Nn^*,\;\exists x_n\in E/\;b-\frac{1}{n}<x_n\leq b\). Puisque \(f\) est à valeurs dans \([a,b]\) et que les \(x_n\) sont dans \(E\), pour tout entier naturel non nul \(n\), on a

\[x_n\leq f(x_n)\leq b\;(*).\]

Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), la suite \((x_n)\) tend vers \(b\) (théorème des gendarmes) et donc, \(f\) étant croissante sur \([a,b]\), la suite \((f(x_n))\) tend vers \(f(b^-)\leq f(b)\). Par passage à la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) dans \((*)\), on obtient alors \(b\leq f(b^-)\leq f(b)\leq b\) et donc \(f(b)=b\). Finalement, dans ce cas, \(b\) est un point fixe de \(f\).

Si \(c\in[a,b[\), par définition de \(c\), pour \(x\) dans \(]c,b]\), \(f(x)<x\) (car \(x\) n’est pas dans \(E\)) et par passage à la limite quand \(x\) tend vers \(c\) par valeurs supérieures et d’après les propriétés usuelles des fonctions croissantes, on obtient : \(f(c)(\leq f(c+))\leq c\).

D’autre part, \(\forall n\in\Nn^*,\;\exists x_n\in E/\;c-\frac{1}{n}<x_n\leq c\). \(x_n\) étant dans \(E\), on a \(f(x_n)\geq x_n\). Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), on obtient : \(f(c)\geq f(c^-)\geq c\). Finalement, \(f(c)=c\) et dans tous les cas, \(f\) admet au moins un point fixe.

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