Soit \(\chi\) la fonction caractéristique de \(\Qq\). Soit \(x_0\) un réel. On note que

\[x_0\in\Qq\Leftrightarrow\forall n\in\Nn^*,\;x_0+\frac{1}{n}\in\Qq Q\Leftrightarrow\forall n\in\Nn^*,\;x_0+\frac{\pi}{n}\notin\Qq.\]

Donc, \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\chi(x_0+\frac{1}{n})\) existe, \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\chi(x_0+\frac{\pi}{n})\) existe et\(\lim_{n\rightarrow +\infty}\chi(x_0+\frac{1}{n})\neq\lim_{n\rightarrow +\infty}\chi(x_0+\frac{\pi}{n})\) (bien que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}x_0+\frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}x_0+\frac{\pi}{n}=x_0\). Ainsi, pour tout réel \(x_0\in\Rr\), la fonction caractéristique de \(\Qq\) n’a pas de limite en \(x_0\) et est donc discontinue en \(x_0\).

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