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Rappeler que pour tout nombre réels $\epsilon > 0$ il existe un entier $n$ tel que: $$\begin{aligned} \frac 1{2n\pi} &<& \epsilon\\ \frac 1{(2n+1)\pi} &<& \epsilon.\\ \end{aligned}$$

Montrer que pour tout nombre réel $l,$ et pour tout $\epsilon > 0,$ il existe $x \in ]-\epsilon,\epsilon[$ tel que: $$|\sin \frac 1x -l | > \frac 12.$$

En déduire que la fonction $x \mapsto \sin \frac 1x$ n’a pas de limite lorsque $x$ tend vers $0.$

Montrer que la fonction définie par $f(x) =x \sin(\frac 1x)$ pour $x \not= 0$ et $f(0) =0$ est continue sur $\mathbb{R}.$