1
Rappeler que pour tout nombre réels \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(n\) tel que: \[\begin{aligned} \frac 1{2n\pi} &<& \epsilon\\ \frac 1{(2n+1)\pi} &<& \epsilon.\\ \end{aligned}\]
2
Montrer que pour tout nombre réel \(l,\) et pour tout \(\epsilon > 0,\) il existe \(x \in ]-\epsilon,\epsilon[\) tel que: \[|\sin \frac 1x -l | > \frac 12.\]
3
En déduire que la fonction \(x \mapsto \sin \frac 1x\) n’a pas de limite lorsque \(x\) tend vers \(0.\)
4
Montrer que la fonction définie par \(f(x) =x \sin(\frac 1x)\) pour \(x \not= 0\) et \(f(0) =0\) est continue sur \(\mathbb{R}.\)