Fixons \(x\in \Rr\) et soit \(y = x/2\), comme \(f(y) = f(2y)\) nous obtenons \(f(\frac 12 x) = f(x)\). Puis en prenant \(y = \frac 14 x\), nous obtenons \(f(\frac 14 x) = f(\frac 12 x)= f(x)\). Par une récurrence facile nous avons \[\forall n \in \Nn \ \ \ \ f(\frac 1{2^n} x) = f(x).\] Notons \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = \frac 1{2^n} x\) alors \(u_n \rightarrow 0\) quand \(n \rightarrow +\infty\). Par la continuité de \(f\) en \(0\) nous savons alors que: \(f(u_n) \rightarrow f(0)\) quand \(n \rightarrow +\infty\). Mais \(f(u_n) = f(\frac 1{2^n} x) = f(x)\), donc \((f(u_n))_n\) est une suite constante égale à \(f(x)\), et donc la limite de cette suite est \(f(x)\) ! Donc \(f(x) = f(0)\). Comme ce raisonnement est valable pour tout \(x \in \Rr\) nous venons de montrer que \(f\) est une fonction constante.

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