Puisque \(f\) est croissante sur \([a,b]\), on sait que \(f\) admet en tout point \(x_0\) de \(]a,b[\) une limite à gauche et une limite à droite réelles vérifiant \(f(x_0^-)\leq f(x_0)\leq f(x_0^+)\) puis une limite à droite en \(a\) élément de \([f(a),+\infty[\) et une limite à gauche en \(b\) élément de \(]-\infty,f(b)]\).

Si \(f\) est discontinue en un \(x_0\) de \(]a,b[\), alors on a \(f(x_0^-)<f(x_0)\) ou \(f(x_0)<f(x_0^+)\). Mais, si par exemple \(f(x_0^-)<f(x_0)\) alors, \(\forall x\in[a,x_0[\;(\neq\emptyset),\;f(x)\leq f(x_0-)\) et \(\forall x\in[x_0,b],\;f(x)\geq f(x_0)\).

Donc \(]f(x_0^-),f(x_0)[\cap f([a,b])=\emptyset\) ce qui est exclu puisque d’autre part \(]f(x_0^-),f(x_0)[\neq\emptyset\) et \(]f(x_0^-),f(x_0)[\subset[f(a),f(b)]\) (la démarche est identique si \(f(x_0^+)>f(x_0)\)). Donc, \(f\) est continue sur \(]a,b[\). Par une démarche analogue, \(f\) est aussi continue en \(a\) ou \(b\) et donc sur \([a,b]\).

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