On a $0\leq f(0)\leq 1$ et $0\leq f(1)\leq 1$ . Donc $|f(1)-f(0)|\leq1$ . Mais, par hypothèse, $|f(1)-f(0)|\geq1$ . Par suite, $|f(1)-f(0)|= 1$ et nécessairement, $(f(0),f(1))\in\{(0,1),(1,0)\}$ .

Supposons que $f(0)=0$ et $f=Id$ et montrons que $\forall x\in[0,1],\;f(x)=x$ .

Soit $x\in[0,1]$ . On a $|f(x) -f(0)|\geq|x-0|$ ce qui fournit $f(x)\geq x$ . On a aussi $|f(x)-f(1)|=|x-1|$ ce qui fournit $1-f(x)\geq 1-x$ et donc $f(x)\leq x$ . Finalement, $\forall x\in[0,1],\;f(x)=x$ et $f=Id$ .

Si $f(0)=1$ et $f(1)=0$ , posons pour $x\in[0,1]$ , $g(x)=1-f(x)$ . Alors, $g(0)=0$ , $g(1)=1$ puis, pour $x\in[0,1]$ , $g(x)\in[0,1]$ . Enfin,

$\forall(x,y)\in[0,1]^2,\;|g(y)-g(x)|=|f(y)-f(x)|\geq|y-x|.$

D’après l’étude du premier cas, $g=Id$ et donc $f=1-Id$ . Réciproquement, $Id$ et $1-Id$ sont bien bien solutions du problème.

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