On a \(0\leq f(0)\leq 1\) et \(0\leq f(1)\leq 1\). Donc \(|f(1)-f(0)|\leq1\). Mais, par hypothèse, \(|f(1)-f(0)|\geq1\). Par suite, \(|f(1)-f(0)|= 1\) et nécessairement, \((f(0),f(1))\in\{(0,1),(1,0)\}\).

Supposons que \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) et montrons que \(\forall x\in[0,1],\;f(x)=x\).

Soit \(x\in[0,1]\). On a \(|f(x) -f(0)|\geq|x-0|\) ce qui fournit \(f(x)\geq x\). On a aussi \(|f(x)-f(1)|=|x-1|\) ce qui fournit \(1-f(x)\geq 1-x\) et donc \(f(x)\leq x\). Finalement, \(\forall x\in[0,1],\;f(x)=x\) et \(f=Id\).

Si \(f(0)=1\) et \(f(1)=0\), posons pour \(x\in[0,1]\), \(g(x)=1-f(x)\). Alors, \(g(0)=0\), \(g(1)=1\) puis, pour \(x\in[0,1]\), \(g(x)\in[0,1]\). Enfin,

\[\forall(x,y)\in[0,1]^2,\;|g(y)-g(x)|=|f(y)-f(x)|\geq|y-x|.\]

D’après l’étude du premier cas, \(g=Id\) et donc \(f=1-Id\). Réciproquement, \(Id\) et \(1-Id\) sont bien bien solutions du problème.

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