exo7 3859

Montrer qu’il existe $x \in \left[0,\frac 12\right]$ tel que $f(x) = f\left(x+\frac 12\right)$.

Pour $n \in \N, n \ge 2$, montrer qu’il existe $x \in \left[0,1-\frac 1n\right]$ tel que $f(x) = f\left(x+\frac 1n\right)$.

Trouver une fonction $f$ telle que : $\forall\ x\in \left[0,\frac35\right]$, $f(x) \ne f(x+\frac25)$.

Montrer qu’il existe $a > 0$ tel que : $\forall\ b \in {]0,a]},\ \exists\ x \in {[0, 1-b]} \text{ tq } f(x) = f(x+b)$.