Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).
1
Montrer qu’il existe \(x \in \left[0,\frac 12\right]\) tel que \(f(x) = f\left(x+\frac 12\right)\).
2
Pour \(n \in \N, n \ge 2\), montrer qu’il existe \(x \in \left[0,1-\frac 1n\right]\) tel que \(f(x) = f\left(x+\frac 1n\right)\).
3
Trouver une fonction \(f\) telle que : \(\forall\ x\in \left[0,\frac35\right]\), \(f(x) \ne f(x+\frac25)\).
4
Montrer qu’il existe \(a > 0\) tel que : \(\forall\ b \in {]0,a]},\ \exists\ x \in {[0, 1-b]} \text{ tq } f(x) = f(x+b)\).