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Pour tout $n$ entier naturel et tout couple de réels $(x,y)$, établir la formule : $$x^n-y^n = (x-y).\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}.$$

Déduire de la question précédente que pour tout entier $n$ tout réel strictement positif $a$ et tout couple de réels $(x,y)$ tel que $|x| \leq a$ et $|y| \leq a,$ $$|x^n-y^n| \leq na^{n-1}|x-y|.$$

Déduire de ce qui précède que pour tout $x_0 \in \mathbb{R},$ et pour tout $\epsilon > 0,$ il existe $\alpha > 0$ tel que: $$|x-x_0| < \alpha \;\Rightarrow\; |x^n-x_0^n| < \epsilon.$$ Conclure.

Sur quel sous ensemble $D$ de $\mathbb{R},$ la fonction de la variable réelle $f$ donnée par $$f(x) := \frac{1-x^n}{1-x}$$ est-elle définie? Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D.$