1
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la formule : \[x^n-y^n = (x-y).\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}.\]
2
Déduire de la question précédente que pour tout entier \(n\) tout réel strictement positif \(a\) et tout couple de réels \((x,y)\) tel que \(|x| \leq a\) et \(|y| \leq a,\) \[|x^n-y^n| \leq na^{n-1}|x-y|.\]
3
Déduire de ce qui précède que pour tout \(x_0 \in \mathbb{R},\) et pour tout \(\epsilon > 0,\) il existe \(\alpha > 0\) tel que: \[|x-x_0| < \alpha \;\Rightarrow\; |x^n-x_0^n| < \epsilon.\] Conclure.
4
Sur quel sous ensemble \(D\) de \(\mathbb{R},\) la fonction de la variable réelle \(f\) donnée par \[f(x) := \frac{1-x^n}{1-x}\] est-elle définie? Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D.\)