Supposons $a \ge b$ . Alors $\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \left( a^x \times \frac{1+ (\frac{b}{a})^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = a \left( \frac{1+ (\frac{b}{a})^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}.$ Or $0 \le \frac b a \le 1$ , donc $0 \le (\frac ba)^x \le 1$ pour tout $x \ge 1$ . Donc $(\frac 12)^{\frac{1}{x}} \le \left( \frac{1+ (\frac{b}{a})^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le 1^{\frac{1}{x}}$ . Les deux termes extrêmes tendent vers $1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ donc le terme du milieu tend aussi vers $1$ . Conclusion : si $a \ge b$ alors $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = a.$ Si $b \ge a$ alors cette limite vaudrait $b$ . Cela se résume dans le cas général où $a,b$ sont quelconques par $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \max(a,b).$

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