Supposons \(a \ge b\). Alors \[\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \left( a^x \times \frac{1+ (\frac{b}{a})^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = a \left( \frac{1+ (\frac{b}{a})^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}.\] Or \(0 \le \frac b a \le 1\), donc \(0 \le (\frac ba)^x \le 1\) pour tout \(x \ge 1\). Donc \((\frac 12)^{\frac{1}{x}} \le \left( \frac{1+ (\frac{b}{a})^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \le 1^{\frac{1}{x}}\). Les deux termes extrêmes tendent vers \(1\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) donc le terme du milieu tend aussi vers \(1\). Conclusion : si \(a \ge b\) alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = a.\) Si \(b \ge a\) alors cette limite vaudrait \(b\). Cela se résume dans le cas général où \(a,b\) sont quelconques par \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \max(a,b).\)

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