Calculons \(f_n(a_{n-1})\). \[\begin{align*} f_n(a_{n-1}) &= \sum_{k=1}^{n} a_{n-1}^k - 1 \\ &= a_{n-1}^n + \sum_{k=1}^{n-1} a_{n-1}^k - 1 \\ &= a_{n-1}^n + f_{n-1}(a_{n-1}) \\ &= a_{n-1}^n \text{\ \ (car $f_{n-1}(a_{n-1})=0$ par définition de $a_{n-1}$).} \end{align*}\]

Nous obtenons l’inégalité \[0 = f_n(a_n) < f_n(a_{n-1}) = a_{n-1}^n.\] Or \(f_n\) est strictement croissante, l’inégalité ci-dessus implique donc \(a_n < a_{n-1}\). Nous venons de démontrer que la suite \((a_n)_n\) est décroissante.

Remarquons avant d’aller plus loin que \(f_n(x)\) est la somme d’une suite géométrique : \[f_n(x) = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}-2.\]

Évaluons maintenant \(f_n(\frac12)\), à l’aide de l’expression précédente \[f_n(\frac12) = \frac{1-(\frac12)^{n+1}}{1-{\frac12}}-2 = -\frac 1 {2^n} < 0.\] Donc \(f_n(\frac12) < f_n(a_n)=0\) entraı̂ne \(\frac12 < a_n\).

Pour résumer, nous avons montré que la suite \((a_n)_n\) est strictement décroissante et minorée par \(\frac12\).

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