Supposons que la suite $(\sqrt[n]{v_n})$ tende vers le réel positif $\ell$ .

Supposons que $0\leq\ell<1$ . Soit $\varepsilon=\frac{1-\ell}{2}$ .

$\varepsilon$ est un réel strictement positif et donc, $\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,(n\geq n_0\Rightarrow\sqrt[n]{v_n}<\ell+\frac{1-\ell}{2}=\frac{1+\ell}{2})$ .

Pour $n\geq n_0$ , par croissance de la fonction $t\mapsto t^n$ sur $\Rr^+$ , on obtient $|u_n|<\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$ . Or, $0<\frac{1+\ell}{2}<\frac{1+1}{2}=1$ et donc $\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . Il en résulte que $u_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .
Supposons que $\ell>1$ . $\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow\sqrt[n]{v_n}>\ell-\frac{\ell-1}{2}=\frac{1+\ell}{2})$ . Mais alors, pour $n\geq n_0$ , $|u_n|>\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$ . Or, $\frac{1+\ell}{2}>\frac{1+1}{2}=1$ , et donc $\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . Il en résulte que $|u_n|$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Soit, pour $\alpha$ réel et $n$ entier naturel non nul, $u_n=n^\alpha$ . $\sqrt[n]{u_n}=e^{\alpha\frac{\ln n}{n}}$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , et ceci pour toute valeur de $\alpha$ . Mais, si $\alpha<0$ , $u_n$ tend vers $0$ , si $\alpha=0$ , $u_n$ tend vers $1$ et si $\alpha>0$ , $u_n$ tend vers $+\infty$ . Donc, si $\ell=1$ , on ne peut rien conclure.

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