Supposons que la suite \((\sqrt[n]{v_n})\) tende vers le réel positif \(\ell\).

Supposons que \(0\leq\ell<1\). Soit \(\varepsilon=\frac{1-\ell}{2}\).

\(\varepsilon\) est un réel strictement positif et donc, \(\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,(n\geq n_0\Rightarrow\sqrt[n]{v_n}<\ell+\frac{1-\ell}{2}=\frac{1+\ell}{2})\).

Pour \(n\geq n_0\), par croissance de la fonction \(t\mapsto t^n\) sur \(\Rr^+\), on obtient \(|u_n|<\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n\). Or, \(0<\frac{1+\ell}{2}<\frac{1+1}{2}=1\) et donc \(\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Il en résulte que \(u_n\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Supposons que \(\ell>1\). \(\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow\sqrt[n]{v_n}>\ell-\frac{\ell-1}{2}=\frac{1+\ell}{2})\). Mais alors, pour \(n\geq n_0\), \(|u_n|>\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n\). Or, \(\frac{1+\ell}{2}>\frac{1+1}{2}=1\), et donc \(\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n\) tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Il en résulte que \(|u_n|\) tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Soit, pour \(\alpha\) réel et \(n\) entier naturel non nul, \(u_n=n^\alpha\). \(\sqrt[n]{u_n}=e^{\alpha\frac{\ln n}{n}}\) tend vers \(1\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), et ceci pour toute valeur de \(\alpha\). Mais, si \(\alpha<0\), \(u_n\) tend vers \(0\), si \(\alpha=0\), \(u_n\) tend vers \(1\) et si \(\alpha>0\), \(u_n\) tend vers \(+\infty\). Donc, si \(\ell=1\), on ne peut rien conclure.

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