Soit $n\in\Nn$ . Pour $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ , $0\leq\Arcsin^x\leq(\frac{\pi}{2})^n$ et donc, par croissance de l’intégrale,

$0\leq u_n\leq\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(\frac{\pi}{2})^ndx=\frac{1}{n!}(\frac{\pi}{2})^n.$

D’après un théorème de croissances comparées, $\frac{1}{n!}(\frac{\pi}{2})^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . D’après le théorème des gendarmes, $u_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . $0\leq\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}\;dx\leq\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+0}\;dx=\frac{1}{n+1}$ . Comme $\frac{1}{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , $\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}\;dx$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . Soit $n\in\Nn^*$ .

$\begin{align*}\ensuremath \left|\int_{0}^{\pi}\frac{n\sin x}{x+n}\;dx-\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx\right|=\left| \int_{0}^{\pi}\frac{-x\sin x}{x+n}\;dx\right|\leq\int_{0}^{\pi}\left|\frac{-x\sin x}{x+n}\;dx\right| \leq\int_{0}^{\pi}\frac{\pi}{0+n}\;dx=\frac{\pi^2}{n}. \end{align*}$

Or, $\frac{\pi^2}{n}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , et donc $\int_{0}^{\pi}\frac{n\sin x}{x+n}\;dx$ tend vers $\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx=2$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

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