[exo:suprou3bis] Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) (série harmonique).
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Montrer que : \(\forall n\in\Nn^*,\;\ln(n+1)<H_n<1+\ln(n)\) et en déduire \(\lim_{n\rightarrow +\infty}H_n\).
2
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose \(u_n=H_n-\ln(n)\) et \(v_n=H_n-\ln(n+1)\). Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers un réel \(\gamma\in\left[\frac{1}{2},1\right]\) (\(\gamma\) est appelée la constante d’Euler). Donner une valeur approchée de \(\gamma\) à \(10^{-2}\) près.