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Pour $n$ entier naturel non nul, on pose $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ (série harmonique).

Montrer que : $\forall n\in\Nn^*,\;\ln(n+1)<H_n<1+\ln(n)$ et en déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}H_n$ .

Pour $n$ entier naturel non nul, on pose $u_n=H_n-\ln(n)$ et $v_n=H_n-\ln(n+1)$ . Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers un réel $\gamma\in\left[\frac{1}{2},1\right]$ ( $\gamma$ est appelée la constante d’Euler). Donner une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-2}$ près.