On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]
1
Montrer que \(x_n\) est supérieur ou égal à \(1\) pour tout \(n\).
2
Montrer que si \((x_n)\) converge, sa limite \(l\) vérifie \[l= \sqrt{2l+1}.\]
3
\(l\) étant définie par l’égalité de 2), est-il possible de trouver \(k\in\mathopen]0,1\mathclose[\) tel que \[\vert x_n-l\vert \leq k \vert x_{n-1}-l\vert.\] Si oui en déduire que \(\vert x_n-l\vert \leq k^n \vert x_0-l\vert\). Conclure.