Soit $a\in]0,\pi[$ et $n\in\Nn^*$ . Alors, pour tout naturel non nul $k$ , on a $0<\frac{a}{2^k}\leq\frac{a}{2}<\frac{\pi}{2}$ et donc $\sin\frac{a}{2^k}\neq0$ .

On sait alors que pour tout réel $x$ , $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ . Par suite, pour tout naturel $k$ ,

$\sin(2.\frac{a}{2^k})=2\sin\frac{2^k}\cos\frac{a}{2^k}\quad\mbox{et donc}\quad \cos\frac{a}{2^k}=\frac{\sin(a/2^{k-1})}{2\sin(a/2^k)}.$

Mais alors,

$\begin{align*} \prod_{k=1}^{n}\cos\frac{a}{2^k}&=\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin(a/2^{k-1})}{2\sin(a/2^k)}=\frac{1}{2^n}\frac{\prod_{k=1}^{n }\sin(a/2^{k-1})}{\prod_{k=1}^{n}\sin(a/2^{k})} =\frac{1}{2^n}\frac{\prod_{k=0}^{n-1} \sin(a/2^{k})}{\prod_{k=1}^{n}\sin(a/2^{k})} =\frac{\sin a}{2^n\sin(a/2^n)}. \end{align*}$

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