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Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par la donnée de $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations de récurrence $$u_{n+1}=\frac{v_n+w_n}{2},\,v_{n+1}=\frac{u_n+w_n}{2}\;\mbox{et}\; w_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}.$$

Etudier les suites $u$, $v$ et $w$ puis déterminer $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ en recherchant des combinaisons linéaires intéressantes de $u$, $v$ et $w$. En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n$et $\lim_{n\rightarrow +\infty}w_n$.