Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels et \(\displaystyle{v_n=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{ n}}\) où \(n\in { \Nn}^* .\)
Montrer que si \((u_n)_{n\geq 1}\) converge vers \(\ell ,\) alors \((v_n)_{n\geq 1}\) converge vers \(\ell .\) La réciproque est elle vraie ?
Calculer \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty } \sum _{k=1}^n \frac{k+1 }{ 2nk+k}} .\)
Soit \((a_n)_{n\geq 0}\) une suite telle que \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow +\infty}(a_{n+1}-a_n)=\ell } .\) Prouver que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{ n}=\ell} .\)
Soit \((u_n)_{n\geq 1}\) une suite strictement positive telle que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{u_{n+1}}{ u_n}=\ell} .\) Démontrer que \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(u_n)^{1/n} =\ell } .\)