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Montrer que si $(u_n)_{n\geq 1}$ converge vers $\ell ,$ alors $(v_n)_{n\geq 1}$ converge vers $\ell .$ La réciproque est elle vraie ?

Calculer $\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty } \sum _{k=1}^n \frac{k+1 }{ 2nk+k}} .$

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite telle que $\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow +\infty}(a_{n+1}-a_n)=\ell } .$ Prouver que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{ n}=\ell} .$

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite strictement positive telle que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{u_{n+1}}{ u_n}=\ell} .$ Démontrer que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}(u_n)^{1/n} =\ell } .$