Pour $n$ naturel non nul et $x$ réel positif, posons $f_n(x)=x^n+x-1$ .

Pour $x\geq0$ , $f_1(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ et donc $u_1=\frac{1}{2}$ .

Pour $n\geq2$ , $f_n$ est dérivable sur $\Rr^+$ et pour $x\geq 0$ , $f_n'(x)=nx^{n-1}+1>0$ .

$f_n$ est ainsi continue et strictemnt croissante sur $\Rr^+$ et donc bijective de $\Rr^+$ sur $f_n(\Rr^+)=[f(0),\lim_{x\rightarrow +\infty}f_n(x)[=[-1,+\infty[$ , et en particulier,

$\exists!x\in[0,+\infty[/\;f_n(x)=0.$

Soit $u_n$ ce nombre. Puisque $f_n(0)=-1<0$ et que $f_n(1)=1>0$ , par stricte croissance de $f_n$ sur $[0,+\infty[$ , on a :

$\forall n\in\Nn,\;0<u_n<1.$

La suite $u$ est donc bornée.

Ensuite, pour $n$ entier naturel donné et puisque $0<u_n<1$ :

$f_{n+1}(u_n)=u_n^{n+1}+u_n-1<u_n^n+u_n-1=f_n(u_n)=0=f_{n+1}(u_{n+1}),$

et donc $f_{n+1}(u_n)<f_{n+1}(u_{n+1})$ puis, par stricte croissance de $f_{n+1}$ sur $\Rr^+$ , on obtient :

$\forall n\in\Nn,\;u_n<u_{n+1}.$

La suite $u$ est bornée et strictement croissante. Donc, la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ , élément de $[0,1]$ .

Si $0\leq\ell<1$ , il existe un rang $n_0$ tel que pour $n\geq n_0$ , on a : $u_n\leq\ell+\frac{1-\ell}{2}=\frac{1+\ell}{2}$ . Mais alors, pour $n\geq n_0$ , on a $1-u_n=u_n^n\leq(\frac{1+\ell}{2})^n$ et quand $n$ tend vers vers $+\infty$ , on obtient $1-\ell\leq0$ ce qui est en contradiction avec $0\leq\ell<1$ . Donc, $\ell=1$ .

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