Pour \(n\) naturel non nul et \(x\) réel positif, posons \(f_n(x)=x^n+x-1\).

Pour \(x\geq0\), \(f_1(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) et donc \(u_1=\frac{1}{2}\).

Pour \(n\geq2\), \(f_n\) est dérivable sur \(\Rr^+\) et pour \(x\geq 0\), \(f_n'(x)=nx^{n-1}+1>0\).

\(f_n\) est ainsi continue et strictemnt croissante sur \(\Rr^+\) et donc bijective de \(\Rr^+\) sur \(f_n(\Rr^+)=[f(0),\lim_{x\rightarrow +\infty}f_n(x)[=[-1,+\infty[\), et en particulier,

\[\exists!x\in[0,+\infty[/\;f_n(x)=0.\]

Soit \(u_n\) ce nombre. Puisque \(f_n(0)=-1<0\) et que \(f_n(1)=1>0\), par stricte croissance de \(f_n\) sur \([0,+\infty[\), on a :

\[\forall n\in\Nn,\;0<u_n<1.\]

La suite \(u\) est donc bornée.

Ensuite, pour \(n\) entier naturel donné et puisque \(0<u_n<1\) :

\[f_{n+1}(u_n)=u_n^{n+1}+u_n-1<u_n^n+u_n-1=f_n(u_n)=0=f_{n+1}(u_{n+1}),\]

et donc \(f_{n+1}(u_n)<f_{n+1}(u_{n+1})\) puis, par stricte croissance de \(f_{n+1}\) sur \(\Rr^+\), on obtient :

\[\forall n\in\Nn,\;u_n<u_{n+1}.\]

La suite \(u\) est bornée et strictement croissante. Donc, la suite \(u\) converge vers un réel \(\ell\), élément de \([0,1]\).

Si \(0\leq\ell<1\), il existe un rang \(n_0\) tel que pour \(n\geq n_0\), on a : \(u_n\leq\ell+\frac{1-\ell}{2}=\frac{1+\ell}{2}\). Mais alors, pour \(n\geq n_0\), on a \(1-u_n=u_n^n\leq(\frac{1+\ell}{2})^n\) et quand \(n\) tend vers vers \(+\infty\), on obtient \(1-\ell\leq0\) ce qui est en contradiction avec \(0\leq\ell<1\). Donc, \(\ell=1\).

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