Pour tout complexe \(z\), \(z^4-2z^3+2z^2-2z+1=(z^2+1)^2-2z(z^2+1)=(z-1)^2(z^2+1)\). Les solutions de l’équation homogène associée sont les suites de la forme \(\alpha+\beta n+\gamma i^n+\delta(-i)^n\). \(1\) est racine double de l’équation caractéristique et donc l’équation proposée admet une solution particulière de la forme \(u_n=an^7+bn^6+cn^5+dn^4+en^3+fn^2\). Pour tout entier naturel \(n\), on a

\[\begin{align*} u_{n+4}-2u_{n+3}&+2u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n=a((n+4)^7-2(n+3)^7+2(n+2)^7-2(n+1)^7+n^7)\\ &+b((n+4)^6-2(n+3)^6+2(n+2)^6-2(n+1)^6+n^6)\\ &+c((n+4)^5-2(n+3)^5+2(n+2)^5-2(n+1)^5+n^5)\\ &+d((n+4)^4-2(n+3)^4+2(n+2)^4-2(n+1)^4+n^4)\\ &+e((n+4)^3-2(n+3)^3+2(n+2)^3-2(n+1)^3+n^3)\\ &+f((n+4)^2-2(n+3)^2+2(n+2)^2-2(n+1)^2+n^2)\\ &=a(84n^5+840n^4+4340n^3+12600n^2+19348n+12264)\\ &+b(60n^4+480n^3+1860n^2+3600n+2764)\\ &+c(40n^3+240n^2+620n+600)+d(24n^2+96n+124)+e(12n+24)+4f\\ &=n^5(84a)+n^4(840a+60b)+n^3(4340a+480b+40c)+n^2(12600a+1860b+240c+24d)\\ &+n(19348a+3600b+620c+96d+12e)+(12264a+2764b+600c+124d+24e+4f) \end{align*}\] \(u\) est solution si et seulement si \(84a=1\) et donc \(a=\frac{1}{84}\), puis \(840a+60b=0\) et donc \(b=-\frac{1}{6}\), puis \(4340a+480b+40c=0\) et donc \(c=\frac{17}{24}\), puis \(12600a+1860b+240c+24d=0\) et donc \(d=-\frac{5}{12}\) puis \(19348a+3600b+620c+96d+12e=0\) et donc \(e=-\frac{59}{24}\) puis \(12264a+2764b+600c+124d+24e+4f=0\) et donc \(f=\frac{1}{12}\). La solution générale de l’équation avec second membre est donc :

\[\forall n\in\Nn,\;u_n=\frac{1}{168}(2n^7-28n^6+119n^5-70n^4-413n^3+14n^2)+\alpha+\beta n+\gamma i^n+\delta(-i)^n,\; (\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\Cc^4.\]

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