Soit \(E\) l’ensemble des valeurs d’adhérence de \((u_n)\). Si \(u_{n_k}\xrightarrow[k\to\infty]{}\lambda\) alors \(u_{n_k+1}\xrightarrow[k\to\infty]{}\lambda+\lambda^2\) donc \(E\) est stable par l’application \(f\) : \(x \mapsto x+x^2\). En fait \(E\) est invariant par cette application car la suite \((u_{n_k-1})\) admet une valeur d’adhérence \(\mu \in E\) et on a \(\mu^2+\mu = \lambda\). En particulier l’intervalle \([\inf(E),\sup(E)]\) est invariant par \(f\) ce qui implique \(\sup(E) = \inf(E) = 0\).

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