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Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : \[\forall n\in \Nn^{*},u_{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} -...-\frac{1}{n^{2}}.\] On montrera préalablement que : \[1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}=\ln n+\gamma +o(1)\] quand \(n\rightarrow \infty .\)