Montrons tout d’abord que :

\[\forall(x,y,z)\in]0,+\infty[^3,\;(x\leq y\leq z\Rightarrow\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x+y+z}{3}).\] Posons \(m=\frac{x+y+z}{3}\), \(g=\sqrt[3]{xyz}\) et \(h=\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\). Soient \(y\) et \(z\) deux réels strictement positifs tels que \(y\leq z\). Pour \(x\in]0,y]\), posons

\(u(x)=\ln m-\ln g=\ln\left(\frac{x+y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}\left(\ln x+\ln y+\ln z\right)\).

\(u\) est dérivable sur \(]0,y]\) et pour \(x\in]0,y]\),

\[u'(x)=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{3x}\leq\frac{1}{x+x+x}-\frac{1}{3x}=0.\] \(u\) est donc décroissante sur \(]0,y]\) et pour \(x\) dans \(]0,y]\), \(u(x)\geq u(y)=\ln\left(\frac{2y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}(2\ln y+\ln z)\). Soit \(z\) un réel strictement positif fixé. Pour \(y\in]0,z]\), posons \(v(y)=\ln\left(\frac{2y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}(2\ln y+\ln z)\). \(v\) est dérivable sur \(]0,z]\) et pour \(y\in]0,z]\),

\[v'(y)=\frac{2}{2y+z}-\frac{2}{3z}\leq\frac{2}{3z}-\frac{2}{3z}=0.\] \(v\) est donc décroissante sur \(]0,z]\) et pour \(y\) dans \(]0,z]\), on a \(v(y)\geq v(z)=0\). On vient de montrer que \(g\leq m\). En appliquant ce résultat à \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{y}\) et \(\frac{1}{z}\), on obtient \(\frac{1}{g}\leq\frac{1}{h}\) et donc \(h\leq g\). Enfin, \(m\leq\frac{z+z+z}{3}=z\) et \(h\geq\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}}=x\). Finalement,

Ce résultat préliminaire étant établi, puisque \(0<u_0<v_0<w_0\), par récurrence, les suites \(u\), \(v\) et \(w\) sont définies puis, pour tout naturel \(n\), on a \(u_n\leq v_n\leq w_n\), et de plus \(u_0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq w_{n+1}\leq w_n\leq w_0\). La suite \(u\) est croissante et majorée par \(w_0\) et donc converge. La suite \(w\) est décroissante et minorée par \(u_0\) et donc converge. Enfin, puisque pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=3w_{n+1}-u_n-w_n\), la suite \(v\) converge. Soient alors \(a\), \(b\) et \(c\) les limites respectives des suites \(u\), \(v\) et \(w\). Puisque pour tout entier naturel \(n\), on a \(0<u_0\leq u_n\leq v_n\leq w_n\), on a déjà par passage à la limite \(0<u_0\leq a\leq b\leq c\). Toujours par passage à la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) :

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\ \rule{0mm}{5mm}b=\sqrt[3]{abc}\\ c=\frac{a+b+c}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2bc=ab+ac\\ b^2=ac\\ a+b=2c \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=2c-a\\ a^2-5ac+4c^2=0\\ \end{array} \right. \Leftrightarrow(a=c\;\mbox{et}\;b=c)\;\mbox{ou}\;(a=4c\;\mbox{et}\;b=-2c).\] \(b=-2c\) est impossible car \(b\) et \(c\) sont strictement positifs et donc, \(a=b=c\). Les suites \(u\), \(v\) et \(w\) convergent vers une limite commune.

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