Montrons tout d’abord que :

$\forall(x,y,z)\in]0,+\infty[^3,\;(x\leq y\leq z\Rightarrow\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x+y+z}{3}).$ Posons $m=\frac{x+y+z}{3}$ , $g=\sqrt[3]{xyz}$ et $h=\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$ . Soient $y$ et $z$ deux réels strictement positifs tels que $y\leq z$ . Pour $x\in]0,y]$ , posons

$u(x)=\ln m-\ln g=\ln\left(\frac{x+y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}\left(\ln x+\ln y+\ln z\right)$ .

$u$ est dérivable sur $]0,y]$ et pour $x\in]0,y]$ ,

$u'(x)=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{3x}\leq\frac{1}{x+x+x}-\frac{1}{3x}=0.$ $u$ est donc décroissante sur $]0,y]$ et pour $x$ dans $]0,y]$ , $u(x)\geq u(y)=\ln\left(\frac{2y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}(2\ln y+\ln z)$ . Soit $z$ un réel strictement positif fixé. Pour $y\in]0,z]$ , posons $v(y)=\ln\left(\frac{2y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}(2\ln y+\ln z)$ . $v$ est dérivable sur $]0,z]$ et pour $y\in]0,z]$ ,

$v'(y)=\frac{2}{2y+z}-\frac{2}{3z}\leq\frac{2}{3z}-\frac{2}{3z}=0.$ $v$ est donc décroissante sur $]0,z]$ et pour $y$ dans $]0,z]$ , on a $v(y)\geq v(z)=0$ . On vient de montrer que $g\leq m$ . En appliquant ce résultat à $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{y}$ et $\frac{1}{z}$ , on obtient $\frac{1}{g}\leq\frac{1}{h}$ et donc $h\leq g$ . Enfin, $m\leq\frac{z+z+z}{3}=z$ et $h\geq\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}}=x$ . Finalement,

$x\leq h\leq g\leq m\leq z.$

Ce résultat préliminaire étant établi, puisque $0<u_0<v_0<w_0$ , par récurrence, les suites $u$ , $v$ et $w$ sont définies puis, pour tout naturel $n$ , on a $u_n\leq v_n\leq w_n$ , et de plus $u_0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq w_{n+1}\leq w_n\leq w_0$ . La suite $u$ est croissante et majorée par $w_0$ et donc converge. La suite $w$ est décroissante et minorée par $u_0$ et donc converge. Enfin, puisque pour tout entier naturel $n$ , $v_n=3w_{n+1}-u_n-w_n$ , la suite $v$ converge. Soient alors $a$ , $b$ et $c$ les limites respectives des suites $u$ , $v$ et $w$ . Puisque pour tout entier naturel $n$ , on a $0<u_0\leq u_n\leq v_n\leq w_n$ , on a déjà par passage à la limite $0<u_0\leq a\leq b\leq c$ . Toujours par passage à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ :

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\ \rule{0mm}{5mm}b=\sqrt[3]{abc}\\ c=\frac{a+b+c}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2bc=ab+ac\\ b^2=ac\\ a+b=2c \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=2c-a\\ a^2-5ac+4c^2=0\\ \end{array} \right. \Leftrightarrow(a=c\;\mbox{et}\;b=c)\;\mbox{ou}\;(a=4c\;\mbox{et}\;b=-2c).$ $b=-2c$ est impossible car $b$ et $c$ sont strictement positifs et donc, $a=b=c$ . Les suites $u$ , $v$ et $w$ convergent vers une limite commune.

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