Soit \(u_n = 1 + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt n}\).
1
Chercher \(\lim_{n\to\infty} (u_{2n}-u_n)\), puis \(\lim_{n\to\infty} u_n\).
2
Comparer \(\frac 1{2\sqrt k}\), \(\sqrt{k+1} - \sqrt k\), et \(\sqrt k - \sqrt{k-1}\). En déduire que la suite \(\bigl(u_n - 2\sqrt n\bigr)\) est convergente.