Soient $x\in\Rr$ et $n\in\Nn^*$ . Pour $1\leq k\leq n$ , on a

$kx-1<E(kx)\leq kx.$

En sommant ces inégalités, on obtient

$\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}\leq\frac{x+2x+...+nx}{n^2}=\frac{n(n+1)x}{2n^2}=\frac{(n+1)x}{2n},$

et aussi,

$\begin{align*} \frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2} &> \frac{(x-1)+(2x-1)+...+(nx-1)}{n^2} \\ &= \frac{n(n+1)x/2-n}{n^2} \\ &= \frac{(n+1)x}{2n}-\frac{1}{n}. \end{align*}$

Finalement, pour tout naturel non nul,

$\frac{(n+1)x}{2n}-\frac{1}{n}<\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}\leq\frac{(n+1)x}{2n}.$

Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers $\frac{x}{2}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . D’après le théorème des gendarmes, on peut affirmer que

$\forall x\in\Rr,\;\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}=\frac{x}{2}.$

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