L1 Analyse Suite Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 1 question

exo7 1905

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Soit f:R→Rf:\Rr\rightarrow\Rr continue. Soit x0∈Rx_0\in\Rr. Soit xnx_n la suite définie par xn+1=f(xn).x_{n+1}=f(x_n). Supposons que xnx_n est bornée. Montrer que xnx_n converge si et seulement si ∣∣xn−xn+1∣∣→0.||x_n-x_{n+1}||\rightarrow 0.

Indication. Montrer qu’il suffit de prouver que a=ba=b dans [a,b]=A[a,b]=A. Si a<ba<b montrer que la suite est stationnaire.

Exercice asDE

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