L1 Analyse Suite Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1200

Pour tout n∈N∗n \in { \Nn}^* on note un=∑k=1n1k!\displaystyle{ u_n =\sum _{k=1}^n \frac{1}{ k!}} et vn=un+1n!n.\displaystyle{ v_n=u_n +\frac{1}{ n!n}} . On rapelle que e=lim⁡n→∞un.\displaystyle{ e=\lim _{n \rightarrow \infty }u_n } .

1

Montrer que les suites (un)n≥1(u_n)_{n\geq 1} et (vn)n≥1(v_n)_{n\geq 1} sont adjacentes. En déduire une valeur approchée de ee à 11000.\displaystyle{\frac{1}{ 1000}} .

2

Démontrer que ee est irrationnel.

Exercice bmfB

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