Pour tout \(n \in { \Nn}^*\) on note \(\displaystyle{ u_n =\sum _{k=1}^n \frac{1}{ k!}}\) et \(\displaystyle{ v_n=u_n +\frac{1}{ n!n}} .\) On rapelle que \(\displaystyle{ e=\lim _{n \rightarrow \infty }u_n } .\)
1
Montrer que les suites \((u_n)_{n\geq 1}\) et \((v_n)_{n\geq 1}\) sont adjacentes. En déduire une valeur approchée de \(e\) à \(\displaystyle{\frac{1}{ 1000}} .\)
2
Démontrer que \(e\) est irrationnel.