Pour $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ , posons $f(x)=\sin x$ . On a $f\left(\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\right)=]0,1]\subset\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ . Donc, puisque $u_0\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ , on en déduit que $\forall n\in\Nn,\;u_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Il est connu que $\forall x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ , $\sin x<x$ et de plus, pour $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ , $\sin x=x\Leftrightarrow x=0$ . La suite $u$ est à valeurs dans $\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ et donc $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\sin(u_n)<u_n$ . La suite $u$ est donc strictement décroissante et, étant minorée par $0$ , converge vers un réel $\ell$ de $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ qui vérifie ( $f$ étant continue sur le segment $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ) $f(\ell)=\ell$ ou encore $\ell=0$ . En résumé,

la suite $u$ est strictement positive, strictement décroissante et converge vers $0$ .

Soit $\alpha$ un réel quelconque. Puisque la suite $u$ tend vers 0 , on a

$\begin{align*}\ensuremath u_{n+1}^{\alpha}-u_n^{\alpha}=(\sin u_n)^{\alpha}-u_n^{\alpha}&\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(u_n-\frac{u_n^3}{6}+o(u_n^3)\right)^{\alpha}-u_n^{\alpha}\\ &=u_n^{\alpha}\left(\left(1-\frac{u_n^2}{6}+o(u_n^2)\right)^{\alpha}-1\right)=u_n^{\alpha}\left(-\alpha\frac{u_n^2}{6}+o(u_n^2)\right)\\ &=-\alpha\frac{u_n^{\alpha+2}}{6}+o(u_n^{\alpha+2}) \end{align*}$ Pour $\alpha=-2$ on a donc

$\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}=\frac{1}{3}+o(1).$ D’après le lemme de Cesaro, $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{u_{k+1}^2}-\frac{1}{u_k^2}\right)=\frac{1}{3}+o(1)$ ou encore $\frac{1}{n}\left(\frac{1}{u_n^2}-\frac{1}{u_0^2}\right)=\frac{1}{3}+o(1)$ ou enfin,

$\frac{1}{u_n^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{n}{3}+\frac{1}{u_0^2}+o(n)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{n}{3}+o(n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{n}{3}$ .

Par suite, puisque la suite $u$ est strictement positive,

$u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{3}{n}}.$

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