Pour \(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), posons \(f(x)=\sin x\). On a \(f\left(\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\right)=]0,1]\subset\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\). Donc, puisque \(u_0\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\), on en déduit que \(\forall n\in\Nn,\;u_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\).

Il est connu que \(\forall x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\), \(\sin x<x\) et de plus, pour \(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), \(\sin x=x\Leftrightarrow x=0\). La suite \(u\) est à valeurs dans \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\) et donc \(\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\sin(u_n)<u_n\). La suite \(u\) est donc strictement décroissante et, étant minorée par \(0\), converge vers un réel \(\ell\) de \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) qui vérifie (\(f\) étant continue sur le segment \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)) \(f(\ell)=\ell\) ou encore \(\ell=0\). En résumé,

Soit \(\alpha\) un réel quelconque. Puisque la suite \(u\) tend vers 0 , on a

\[\begin{align*}\ensuremath u_{n+1}^{\alpha}-u_n^{\alpha}=(\sin u_n)^{\alpha}-u_n^{\alpha}&\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(u_n-\frac{u_n^3}{6}+o(u_n^3)\right)^{\alpha}-u_n^{\alpha}\\ &=u_n^{\alpha}\left(\left(1-\frac{u_n^2}{6}+o(u_n^2)\right)^{\alpha}-1\right)=u_n^{\alpha}\left(-\alpha\frac{u_n^2}{6}+o(u_n^2)\right)\\ &=-\alpha\frac{u_n^{\alpha+2}}{6}+o(u_n^{\alpha+2}) \end{align*}\] Pour \(\alpha=-2\) on a donc

\[\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}=\frac{1}{3}+o(1).\] D’après le lemme de Cesaro, \(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{u_{k+1}^2}-\frac{1}{u_k^2}\right)=\frac{1}{3}+o(1)\) ou encore \(\frac{1}{n}\left(\frac{1}{u_n^2}-\frac{1}{u_0^2}\right)=\frac{1}{3}+o(1)\) ou enfin,

\(\frac{1}{u_n^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{n}{3}+\frac{1}{u_0^2}+o(n)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{n}{3}+o(n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{n}{3}\).

Par suite, puisque la suite \(u\) est strictement positive,

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