Supposons $\ell>0$ . Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif, élément de $]0,\ell[$ . $\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow0< \ell-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{u_{n+1}}{u_n}<\ell+\frac{\varepsilon}{2})$ . Pour $n>n_0$ , puisque $u_n=\frac{u_n}{u_{n-1}}\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}...\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}u_{n_0}$ , on a $u_{n_0}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-n_0}\leq u_n\leq u_{n_0}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-n_0}$ , et donc

$(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)\leq \sqrt[n]{u_n}\leq(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right).$ Maintenant, le membre de gauche de cet encadrement tend vers $\ell-\frac{\varepsilon}{2}$ , et le membre de droite rend vers $\ell+\frac{\varepsilon}{2}$ . Par suite, on peut trouver un entier naturel $n_1\geq n_0$ tel que, pour $n\geq n_1$ , $(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)>\ell-\varepsilon$ , et $(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)<\ell+\varepsilon$ . Pour $n\geq n_1$ , on a alors $\ell-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<\ell+\varepsilon$ . On a montré que $\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_1\Rightarrow\ell-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<\ell+\varepsilon)$ . Donc, $\sqrt[n]{u_n}$ tend vers $\ell$ . On traite de façon analogue le cas $\ell=0$ .

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