Supposons \(\ell>0\). Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif, élément de \(]0,\ell[\). \(\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow0< \ell-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{u_{n+1}}{u_n}<\ell+\frac{\varepsilon}{2})\). Pour \(n>n_0\), puisque \(u_n=\frac{u_n}{u_{n-1}}\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}...\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}u_{n_0}\), on a \(u_{n_0}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-n_0}\leq u_n\leq u_{n_0}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-n_0}\), et donc

\[(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)\leq \sqrt[n]{u_n}\leq(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right).\] Maintenant, le membre de gauche de cet encadrement tend vers \(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\), et le membre de droite rend vers \(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\). Par suite, on peut trouver un entier naturel \(n_1\geq n_0\) tel que, pour \(n\geq n_1\), \((u_{n_0})^{1/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)>\ell-\varepsilon\), et \((u_{n_0})^{1/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)<\ell+\varepsilon\). Pour \(n\geq n_1\), on a alors \(\ell-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<\ell+\varepsilon\). On a montré que \(\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_1\Rightarrow\ell-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<\ell+\varepsilon)\). Donc, \(\sqrt[n]{u_n}\) tend vers \(\ell\). On traite de façon analogue le cas \(\ell=0\).

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