On pose $u_0=0$ , $u_1=0$ , $u_2=1$ , $u_3=1$ , $u_4=0$ , $u_5=1$ ,... c’est-à-dire

$\forall n\in\Nn,\;u_n=\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;n\;\mbox{n'est pas premier}\\ 1\;\mbox{si}\;n\;\mbox{est premier} \end{array} \right..$

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . Pour $n\geq2$ , l’entier $kn$ est composé et donc, pour $n\geq 2$ , $u_{kn}=0$ . En particulier, la suite $(u_{kn})_{n\in\Nn}$ converge et a pour limite $0$ . Maintenant, l’ensemble des nombres premiers est infini et si $p_n$ est le $n$ -ième nombre premier, la suite $(p_n)_{n\in\Nn}$ est strictement croissante. La suite $(u_{p_n})_{n\in\Nn}$ est extraite de $(u_n)_{n\in\Nn}$ et est constante égale à $1$ . En particulier, la suite $(u_{p_n})_{n\in\Nn}$ tend vers $1$ . Ainsi la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ admet au moins deux suites extraites convergentes de limites distinctes et donc la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ diverge bien que toutes les suites $(u_{kn})_{n\in\Nn}$ convergent vers $0$ pour $k\geq2$ .

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