Soit $k$ un entier naturel non nul.

D’après 1), $\ln(1+\frac{1}{k})<\frac{1}{k}<(1+\frac{1}{k})\ln(1+\frac{1}{k})$ , ce qui fournit $k\ln(1+\frac{1}{k})<1<(k+1)Ln(1+\frac{1}{k})$ , puis, par stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\Rr$ ,

$\forall k\in\Nn^*,\;0<(1+\frac{1}{k})^k<e<(1+\frac{1}{k})^{k+1}.$

En multipliant membre à membre ces encadrements, on obtient pour tout naturel non nul $n$ :

$\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^k<e^n<\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^{k+1}.$

Maintenant,

$\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^k=\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\frac{\prod_{k=2}^{n+1}k^{k-1}}{\prod_{k=1}^{n}k^k}=\frac{(n+1)^n}{n!}.$

De même, $\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^{k+1}=\frac{\prod_{k=2}^{n+1}k^{k}}{\prod_{k=1}^{n}k^{k+1}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}.$

On a montré que $\forall n\in\Nn^*,\;\frac{(n+1)^n}{n!}<e^n<\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}$ et donc

$\forall n\in\Nn^*,\;\frac{1}{e}\frac{n+1}{n}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}<\frac{1}{e}\frac{n+1}{n}(n+1)^{1/n}.$

D’après le théorème de la limite par encadrements, comme $\frac{n+1}{n}$ tend vers 1 quand $n$ tend vers l’infini de même que $(n+1)^{1/n}=e^{\ln(n+1)/n}$ , on a montré que $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ tend vers $\frac{1}{e}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

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