Soit \(k\) un entier naturel non nul.

D’après 1), \(\ln(1+\frac{1}{k})<\frac{1}{k}<(1+\frac{1}{k})\ln(1+\frac{1}{k})\), ce qui fournit \(k\ln(1+\frac{1}{k})<1<(k+1)Ln(1+\frac{1}{k})\), puis, par stricte croissance de la fonction exponentielle sur \(\Rr\),

\[\forall k\in\Nn^*,\;0<(1+\frac{1}{k})^k<e<(1+\frac{1}{k})^{k+1}.\]

En multipliant membre à membre ces encadrements, on obtient pour tout naturel non nul \(n\) :

\[\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^k<e^n<\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^{k+1}.\]

Maintenant,

\[\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^k=\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\frac{\prod_{k=2}^{n+1}k^{k-1}}{\prod_{k=1}^{n}k^k}=\frac{(n+1)^n}{n!}.\]

De même, \[\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})^{k+1}=\frac{\prod_{k=2}^{n+1}k^{k}}{\prod_{k=1}^{n}k^{k+1}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}.\]

On a montré que \(\forall n\in\Nn^*,\;\frac{(n+1)^n}{n!}<e^n<\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}\) et donc

\[\forall n\in\Nn^*,\;\frac{1}{e}\frac{n+1}{n}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}<\frac{1}{e}\frac{n+1}{n}(n+1)^{1/n}.\]

D’après le théorème de la limite par encadrements, comme \(\frac{n+1}{n}\) tend vers 1 quand \(n\) tend vers l’infini de même que \((n+1)^{1/n}=e^{\ln(n+1)/n}\), on a montré que \(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\) tend vers \(\frac{1}{e}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

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