Vrai. Toute sous-suite d’une suite convergente est convergente et admet la même limite (c’est un résultat du cours). Faux. Un contre-exemple est la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n = (-1)^n$ . Alors $(u_{2n})_n$ est la suite constante (donc convergente) de valeur $1$ , et $(u_{2n+1})_n$ est constante de valeur $-1$ . Cependant la suite $(u_n)_n$ n’est pas convergente. Vrai. La convergence de la suite $(u_n)_n$ vers $\ell$ , que nous souhaitons démontrer, s’écrit : $\forall \epsilon > 0\ \ \exists N \in \Nn \ \text{\ tel que\ \ } (n \geqslant N \Rightarrow |u_n-\ell| < \epsilon).$ Fixons $\epsilon > 0$ . Comme, par hypothèse, la suite $(u_{2p})_p$ converge vers $\ell$ alors il existe $N_1$ tel $2p \geqslant N_1 \Rightarrow |u_{2p}-\ell| < \epsilon.$ Et de même, pour la suite $(u_{2p+1})_p$ il existe $N_2$ tel que $2p+1 \geqslant N_2 \Rightarrow |u_{2p+1}-\ell| < \epsilon.$ Soit $N = \max(N_1,N_2)$ , alors $n \geqslant N\Rightarrow |u_{n}-\ell| < \epsilon.$ Ce qui prouve la convergence de $(u_n)_n$ vers $\ell$ .

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