Vrai. Toute sous-suite d’une suite convergente est convergente et admet la même limite (c’est un résultat du cours). Faux. Un contre-exemple est la suite \((u_n)_n\) définie par \(u_n = (-1)^n\). Alors \((u_{2n})_n\) est la suite constante (donc convergente) de valeur \(1\), et \((u_{2n+1})_n\) est constante de valeur \(-1\). Cependant la suite \((u_n)_n\) n’est pas convergente. Vrai. La convergence de la suite \((u_n)_n\) vers \(\ell\), que nous souhaitons démontrer, s’écrit : \[\forall \epsilon > 0\ \ \exists N \in \Nn \ \text{\ tel que\ \ } (n \geqslant N \Rightarrow |u_n-\ell| < \epsilon).\] Fixons \(\epsilon > 0\). Comme, par hypothèse, la suite \((u_{2p})_p\) converge vers \(\ell\) alors il existe \(N_1\) tel \[2p \geqslant N_1 \Rightarrow |u_{2p}-\ell| < \epsilon.\] Et de même, pour la suite \((u_{2p+1})_p\) il existe \(N_2\) tel que \[2p+1 \geqslant N_2 \Rightarrow |u_{2p+1}-\ell| < \epsilon.\] Soit \(N = \max(N_1,N_2)\), alors \[n \geqslant N\Rightarrow |u_{n}-\ell| < \epsilon.\] Ce qui prouve la convergence de \((u_n)_n\) vers \(\ell\).

exo7 505