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Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.

Soit $u_n = 1 + \dfrac12 + \ldots + \dfrac1n$. Montrer que, pour tout $p\in \Nn ,$ $u_{2^p }\geq \dfrac {p+2}2 .$ En déduire que $(u_n)_{n\in \Nn}$ tend vers l’infini.

Une suite $(u_n)_{n\in \Nn }$ satisfait au critère $\cal{C '}$ lorsque, pour tout $\epsilon >0$ il existe $N\in \Nn$ tel que, si $n \geq N$ alors $\vert u_n-u_{n+1} \vert < \epsilon .$ Une suite satisfaisant au critère $\cal{C '}$ est-elle de Cauchy ?

Montrer que les trois assertions qui suivent sont équivalentes :

Toute partie majorée de $\Rr$ admet une borne supérieure et toute partie minorée de $\Rr$ admet une borne inférieure.

Toute suite de Cauchy est convergente.

Deux suites adjacentes sont convergentes.