Une suite \((u_n)_{n\in \Nn }\) est dite de Cauchy lorsque, pour tout \(\epsilon >0\) il existe \(N\in \Nn\) tel que, si \(m,n \geq N\) alors \(\vert u_n-u_m \vert < \epsilon .\)
Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.
Soit \(u_n = 1 + \dfrac12 + \ldots + \dfrac1n\). Montrer que, pour tout \(p\in \Nn ,\) \(u_{2^p }\geq \dfrac {p+2}2 .\) En déduire que \((u_n)_{n\in \Nn}\) tend vers l’infini.
Une suite \((u_n)_{n\in \Nn }\) satisfait au critère \(\cal{C '}\) lorsque, pour tout \(\epsilon >0\) il existe \(N\in \Nn\) tel que, si \(n \geq N\) alors \(\vert u_n-u_{n+1} \vert < \epsilon .\) Une suite satisfaisant au critère \(\cal{C '}\) est-elle de Cauchy ?
Montrer que les trois assertions qui suivent sont équivalentes :
Toute partie majorée de \(\Rr\) admet une borne supérieure et toute partie minorée de \(\Rr\) admet une borne inférieure.
Toute suite de Cauchy est convergente.
Deux suites adjacentes sont convergentes.