Pour $n\geq2$ , on a

$\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}k!=1+\frac{1}{n}+\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}.$

Mais, pour $0\leq k\leq n-2$ , $\frac{k!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)...(k+1)}\leq\frac{1}{n(n-1)}$ (le produit contenant au moins les deux premiers facteurs. Par suite,

$0\leq\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}\leq\frac{n-2}{n(n-1)}.$

On en déduit que $\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . Comme $\frac{1}{n}$ tend aussi vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , on en déduit que $\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}k!$ tend vers $1$ et donc que

$\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!.$

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