Soit $f$ une application de $\Nn$ dans lui-même, injective. Montrons que $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(n)=+\infty$ .

Soient $A$ un réel puis $m=\mbox{Max}(0,1+E(A))$ .

Puisque $f$ est injective, on a $\mbox{card}(f^{-1}(\{0,1,...,m\})\geq m+1$ . En particulier, $f^{-1}(\{0,1,...,m\})$ est fini (éventuellement vide).

Posons $n_0=1+\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;f^{-1}(\{0,1,...,m\})=\emptyset\\ \mbox{Max}f^{-1}(\{0,1,...,m\})\;\mbox{sinon} \end{array} \right.$ .

Par définition de $n_0$ , si $n\geq n_0$ , $n$ n’est pas élément de $f^{-1}(\{0,1,...,m\})$ et donc $f(n)>m>A$ .

On a montré que $\forall A\in\Rr,\;\exists n_0\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_0\Rightarrow f(n)>A)$ ou encore $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(n)=+\infty$ .

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