1
Soit \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) trois suites telles que pour \(n\) assez grand on ait \(v_n\leq u_n\leq w_n\). On suppose que \((v_n)\) et \((w_n)\) sont convergentes, et on note \(v=\lim v_n\) et \(w=\lim w_n\). Montrer que pour tout \(\epsilon\) positif, on a \(v-\epsilon\leq u_n \leq w+\epsilon\) pour \(n\) assez grand (théorème d’encadrement). Que peut-on en déduire si \(v=w\) ?
2
Soit \((u_n)\) une suite convergente de limite \(l\). Montrer que la suite \[v_n = \frac{u_1+u_2+ \cdots+u_n}{n}\] est convergente et a pour limite \(l\). Pour cela, encadrer \(u_n\) à \(\epsilon\) près pour \(n\) assez grand, et en déduire un encadrement de \(v_n\).