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Soit $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites telles que pour $n$ assez grand on ait $v_n\leq u_n\leq w_n$. On suppose que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes, et on note $v=\lim v_n$ et $w=\lim w_n$. Montrer que pour tout $\epsilon$ positif, on a $v-\epsilon\leq u_n \leq w+\epsilon$ pour $n$ assez grand (théorème d’encadrement). Que peut-on en déduire si $v=w$ ?

Soit $(u_n)$ une suite convergente de limite $l$. Montrer que la suite $$v_n = \frac{u_1+u_2+ \cdots+u_n}{n}$$ est convergente et a pour limite $l$. Pour cela, encadrer $u_n$ à $\epsilon$ près pour $n$ assez grand, et en déduire un encadrement de $v_n$.