exo7 1904

Soit $x_n$ une suite bornée de $\Rr^d$. Supposons que $||x_n-x_{n+1}||\rightarrow 0$. Montrer que l’ensemble $A$ est non-vide, compact, connexe.

Indication: pour la connexité, supposer que $A=A_1\cup A_2$ avec $A_1$ et $A_2$ non-vides, disjoints, fermés.

Si $d=1$ conclure que $A=[a,b]$ avec $a\leq b$.