exo7 1210

Montrer que toute sous-suite extraite d’une suite de Cauchy est aussi une suite de Cauchy.

Montrer que si $(u_n)$ est une suite de Cauchy, on peut trouver une sous-suite $(u_{n_k})$ de $(u_n)$ telle que : $$\forall p\in\mathbf{N},\;\forall q\geq p,\; \vert u_{n_p}-u_{n_q}\vert\leq \frac{1}{2^p}.$$