Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivées de \((u_n)\) : \[\begin{cases}(u'_n) = (u_{n+1} - u_n) \cr (u''_n) = (u'_{n+1} - u'_n) \cr \dots \cr \left(u^{(k+1)}_n\right) = \left(u^{(k)}_{n+1} - u^{(k)}_n\right).\end{cases}\]
1
Exprimer \(u^{(k)}_n\) en fonction de \(u_n, u_{n+1}, \dots, u_{n+k}\).
2
Montrer que la suite \((u_n)\) est polynomiale si et seulement s’il existe \(k \in \N\) tel que \(\left(u^{(k)}_n\right) = (0)\).