OpenYourMath

Soit $(u_n)$ une suite de réels. On définit les suites dérivées de $(u_n)$ : $\begin{cases}(u'_n) = (u_{n+1} - u_n) \cr (u''_n) = (u'_{n+1} - u'_n) \cr \dots \cr \left(u^{(k+1)}_n\right) = \left(u^{(k)}_{n+1} - u^{(k)}_n\right).\end{cases}$

Exprimer $u^{(k)}_n$ en fonction de $u_n, u_{n+1}, \dots, u_{n+k}$ .

Montrer que la suite $(u_n)$ est polynomiale si et seulement s’il existe $k \in \N$ tel que $\left(u^{(k)}_n\right) = (0)$ .