L1 Analyse Suite Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 7 questions

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Soit f ⁣:[0,1]→[0,1]f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]. On considère a∈[0,1]a\in [0,1] et la suite (un)n∈N(u_n)_{n\in \mathbb{N}} vérifiant u0=au_0=a et ∀n∈N,  un+1=f(un)\forall n\in \mathbb{N},\; u_{n+1}=f(u_n). Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses :

1

Si ff est croissante, alors (un)(u_n) est croissante.

2

Si (un)(u_n) est croissante, alors ff est croissante.

3

Si (un)(u_n) est croissante et ff monotone, alors ff est croissante.

4

Si (un)(u_n) converge vers une limite ll, alors ll est point fixe de ff.

5

Si ff est dérivable, alors (un)(u_n) est bornée.

6

Si le graphe de ff est au dessus de la droite d’équation y=xy=x, alors (un)(u_n) est croissante.

7

Si (un)(u_n) converge vers un point fixe ll de ff, alors ff est continue en ll.

Exercice cie4

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