Soit \(f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\). On considère \(a\in [0,1]\) et la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) vérifiant \(u_0=a\) et \(\forall n\in \mathbb{N},\; u_{n+1}=f(u_n)\). Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses :
1
Si \(f\) est croissante, alors \((u_n)\) est croissante.
2
Si \((u_n)\) est croissante, alors \(f\) est croissante.
3
Si \((u_n)\) est croissante et \(f\) monotone, alors \(f\) est croissante.
4
Si \((u_n)\) converge vers une limite \(l\), alors \(l\) est point fixe de \(f\).
5
Si \(f\) est dérivable, alors \((u_n)\) est bornée.
6
Si le graphe de \(f\) est au dessus de la droite d’équation \(y=x\), alors \((u_n)\) est croissante.
7
Si \((u_n)\) converge vers un point fixe \(l\) de \(f\), alors \(f\) est continue en \(l\).