Déterminer les limites lorsque \(n\) tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la méthode employée.
\(\displaystyle 1\;;~-\frac{1}{2}\;;~\frac{1}{3}\;;~ \ldots\;;~\frac{(-1)^{n-1}}{n}\;;~\ldots\)
\(2/1\) ; \(4/3\) ; \(6/5\) ; \(\ldots\) ; \(2n/(2n-1)\) ; \(\ldots\)
\(0{,}23\;;~0{,}233\;;~\ldots\;;~0{,}233\cdots3\;;~\ldots\)
\(\displaystyle\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\)
\(\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3}\)
\(\displaystyle\biggl\lbrack \frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{n+1} - \frac{2n+1}{2}\biggr\rbrack\)
\(\displaystyle\frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}\)
\(\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n + 3^n}\)
\(\displaystyle\bigl(1/2+1/4+1/8+\cdots+1/2^n\bigr)\) puis\(\displaystyle \sqrt{2}\;;~\sqrt{2\sqrt{2}}\;;~ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\;;~\ldots\)
\(\displaystyle\biggl(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +\frac{(-1)^n}{3^n} \biggr)\)
\(\bigl( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)\)
\(\displaystyle\frac{n\sin(n!)}{n^2+1}\)
Démontrer la formule \(1+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\) ; en déduire \(\lim_{n \to\infty} \frac{1+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}\).