On considère la fonction \(f : \R \longrightarrow \R\) définie par \[f (x) = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}\] et on définit la suite \((x_{n})_{n \geq 0}\) en posant \(x_{0} = 0\) et \(x_{n + 1} = f (x_{n})\) pour \(n \in \N.\)
Montrer que l’équation \(x^{3} - 3 x + 1 = 0\) possède une solution unique \(\alpha \in ]0, 1\slash 2[.\)
Montrer que l’équation \(f (x) = x\) est équivalente à l’équation \(x^{3} - 3 x + 1 = 0\) et en déduire que \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(f (x) = x\) dans l’intervalle \([0 , 1\slash 2].\)
Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(\R^{+}\) et que \(f (\R^{+}) \subset \R^{+}\). En déduire que la suite \((x_{n})\) est croissante.
Montrer que \(f (1\slash 2) < 1 \slash 2\) et en déduire que \(0 \leq x_{n} < 1 \slash 2\) pour tout \(n \geq 0.\)
Montrer que la suite \((x_{n})_{n \geq 0}\) converge vers \(\alpha.\)