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Montrer que l’équation $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ possède une solution unique $\alpha \in ]0, 1/2[.$

Montrer que l’équation $f (x) = x$ est équivalente à l’équation $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ et en déduire que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $f (x) = x$ dans l’intervalle $[0 , 1/2].$

Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $\R^{+}$ et que $f (\R^{+}) \subset \R^{+}$. En déduire que la suite $(x_{n})$ est croissante.

Montrer que $f (1/2) < 1 /2$ et en déduire que $0 \leq x_{n} < 1 /2$ pour tout $n \geq 0.$

Montrer que la suite $(x_{n})_{n \geq 0}$ converge vers $\alpha.$