Si \(u\) converge vers un réel \(\ell\), alors \(\ell\in[0,1]\) puis, par passage à la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(\ell(1-\ell)\geq\frac{1}{4}\), et donc \((\ell-\frac{1}{2})^2\leq0\) et finalement \(\ell=\frac{1}{2}\). Par suite, si \(u\) converge, \(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{1}{2}\).

De plus, puisque la suite \(u\) est à valeurs dans \(]0,1[\), pour \(n\) naturel donné, on a :

\[u_n(1-u_n)=\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-u_n)^2\leq\frac{1}{4}<u_{n+1}(1-u_n),\]

et puisque \(1-u_n>0\), on a donc \(\forall n\in\Nn,\;u_n<u_{n+1}\).

\(u\) est croissante et majorée. Donc \(u\) converge et \(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{1}{2}\) (amusant).

exo7 5251