Si $u$ converge vers un réel $\ell$ , alors $\ell\in[0,1]$ puis, par passage à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ , $\ell(1-\ell)\geq\frac{1}{4}$ , et donc $(\ell-\frac{1}{2})^2\leq0$ et finalement $\ell=\frac{1}{2}$ . Par suite, si $u$ converge, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{1}{2}$ .

De plus, puisque la suite $u$ est à valeurs dans $]0,1[$ , pour $n$ naturel donné, on a :

$u_n(1-u_n)=\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-u_n)^2\leq\frac{1}{4}<u_{n+1}(1-u_n),$

et puisque $1-u_n>0$ , on a donc $\forall n\in\Nn,\;u_n<u_{n+1}$ .

$u$ est croissante et majorée. Donc $u$ converge et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{1}{2}$ (amusant).

exo7 5251