La suite $u$ n’est pas majorée. Donc, $\forall M\in\Rr,\;\exists n\in\Nn/\;u_n> M$ . En particulier, $\exists n_0\in\Nn/\;u_{n_0}\geq0$ .

Soit $k=0$ . Supposons avoir construit des entiers $n_0$ , $n_1$ ,..., $n_k$ tels que $n_0<n_1<...<n_k$ et $\forall i\in\{0,...,k\},\;u_{n_i}\geq i$ .

On ne peut avoir : $\forall n>n_k,\;u_n<k+1$ car sinon la suite $u$ est majorée par le nombre $\mbox{Max}\{u_0,u_1,...,u_{n_k},k+1\})$ . Par suite, $\exists n_{k+1}>n_k/\;u_{n_{k+1}}\geq k+1$ .

On vient de construire par récurrence une suite $(u_{n_k})_{k\in\Nn}$ extraite de la suite $u$ telle que $\forall k\in\Nn,\;u_{n_k}\geq k$ et en particulier telle que $\lim_{k\rightarrow +\infty}u_{n_k}=+\infty$ .

exo7 5250