On considère l’énoncé suivant :
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe, direct. Alors \(A, B, C, D\) sont cocycliques si et seulement si \(AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD\).
L’objectif de cet exercice est de prouver le sens direct du théorème.
On suppose \(A, B, C, D\) cocycliques.
Faire une figure au brouillon et montrer que \(\widehat{BAC} = \widehat{BDC}\) et trois relations similaires sur d’autres angles.
Soit \(K\) le point de la diagonale \([AC]\) tel que \(\widehat{ABK} = \widehat{DBC}\). Faire une figure et construire \(K\) en expliquant (faire la figure de telle sorte que \(K\) soit lisible).
Montrer que les triangles \(ABK\) et \(DBC\) sont semblables, de même que \(ABD\) et \(KBC\), par des similitudes dont on précisera les centres et les rapports. Note : il suffit pour cela de montrer qu’ils ont mêmes angles. En déduire des relations sur les côtés de ces triangles.
Conclure.