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On considère le code binaire, linéaire engendré par la matrice $$\left(\begin{array}{ccccccccccccccc} 1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1\\ \end{array}\right)$$ Quel est son alphabet ? sa longueur ? sa dimension ? un polynôme générateur ? son nombre de mots ?

Le code est-il cyclique ?

Ecrire une matrice de contrôle. Montrer que la distance du code est au moins $3$. Combien d’erreurs peut-on alors détecter ? combien d’erreurs peut-on alors corriger ?

Le mot $(0,0,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1)$ est-il un mot de code ? Si non, en supposant qu’il n’a qu’une erreur, écrire le mot de code dont il provient.